Analîza hejmarî
Analîza hejmarî lêkolîna algorîtmayên ji bo pirsgirêkên matematîka berdewam e.[2] Ew algorîtma guherbarên rastîn an kompleks (berevajî matematîka qutkirî) dihewînin û bi gelemperî, ligel bikaranîna sembolan, nêzîkatiya hejmarî jî bikar tînin.
Analîza hejmarî di gî warên endezyariyê û zanistên fizîkî de û di sedsala 21ê de jî di zanistên heyat û civakî yên wekî aborî, bijîşkî, karsazî û heta hunerê de jî tê sepandin. Mezinbûna heyî ya hêza komputerê rê li ber karanîna analîza hejmarî ya tevlihevtir avakiriye û modelên matematîkî yên berfireh û rastîn di zanist û endezyariyê de peyda dike. Meseleyên analîza hejmarî ew in: hevkêşeyên dîferansiyel ên asayî wekî ku di mekanîka ezmanê de têne dîtin (pêşbînîkirina tevgerên gerstêrkan, stêrkan û galaksiyan), cebrîra xêzikî ya hejmarî[3] di analîza daneyan de û hevkêşeyên dîferansiyel ên stokastîk û zincîrên Markovê ji bo simulasyona şaneyên zindî di bijîşkî û biyolojiyê de.
Berî hebûna komputerên modern, metodên hejmarî bi piranî pişta xwe bi formulên înterpolasyonê yên bi destan û daneyên ji tabloyên mezin ên çapkirî girêdidan. Ji nîvê sedsala 20ê û vir ve, komputer fonksiyonên pêwîst hesab dikin, lê gelek ji wan heman formulan hîn jî di algorîtmayên nermalavê de têne bikaranîn.[4]
Nêrîna hejmarî vedigere serdema nivîsên matematîkî yên herî kevn. Plaqeya Koleksiyona Babilî ya Yale (YBC 7289), nêzîkatiyeke hejmarî ya sîstema şêstî (sexagesîmal) ji bo koka çargoşe ya 2yê, yanî dirêjahiya xêza diyagonal a çargoşeyeke yekeyî, pêşkêş dike.
Analîza hejmarî vê kevneşopiya dirêj didomîne: li şûna ku bersivên sembolîk ên rast werin wergerandin bo hejmaran û tenê ji bo pîvandinên cîhana rastîn werin sepandin, çareseriyên texmînî di nav sinorên xeletiyê yên diyarkirî de têne bikaranîn.
Warên bikaranînê
[biguhêre | çavkaniyê biguhêre]Armanca giştî ya warê analîza hejmarî, sêwirandin û analîzkirina wan rêbazan e ku ji bo curbecur pirsgirêkên dijwar çareseriyên nêzîkî rastiyê lê rast peyda bikin; pirsgirêkên ku çareserkirina gelek ji wan bi rêbaza sembolîk ne pêkan e:
- Rêbazên hejmarî yên pêşketî ji bo pêkanîna pêşbîniya hejmarî ya hewayê giring in.
- Hesabkirina rêça keştiyeke fezayî pêdivî bi çareseriya hejmarî ya rast a sîstemeke hevkêşeyên diferansiyel ên asayî heye.
- Şîrketên otomobîlan dikarin bi bikaranîna simulasyonên kompîturî yên qezayên otomobîlan, ewlehiya li hembera qezayan di wesayîtên xwe de baştir bikin. Ew cure simulasyon di eslê xwe de ji çareserkirina hejmarî ya hevkêşeyên diferansiyel ên qismî pêk têne.
- Di warê darayî de, (fonên veberhênana taybet) û saziyên din ên darayî matematîka fînansê ji analîza hejmarî bikartînin da ku hewl bidin nirxa pereya giştî û tuveran ji beşdarên din ên bazarê rasttir hesab bikin.[5]
- Şîrketên hewayî algorîtmayên optîmîzasyonê yên sofîstîke bikar tînin da ku bihayên bilêtan, erkên balafir û ekîban û hewcedariyên sotemeniyê diyar bikin. Di tarîxê de, algorîtmayên wiha di warê lêkolîna operasyonan de hatine pêşve xistin.
- Şîrketên sîgorteyê ji bo analîza aktuarî programên hejmarî bikartînin.
Tarîx
[biguhêre | çavkaniyê biguhêre]Tarîxa analîza hejmarî gelek sedsalan beriya dahênana komputerên modern destpê dike. Lîneer înterpolasyon berî zêdetirî 2000 salan dihat bikaranîn. Gelek matematîknasên mezin ên serdemên borî bi analîza hejmarî re mijûl dibûn[4] ku ew yek ji navên algorîtmayên giring ên wekî metoda Newtonê, polînoma înterpolyasyonê ya Lagrange, elîmînasiyona Gaussianê an jî metoda Eulerê diyar e. Koka analîza hejmarî ya modern bi gelemperî bi gotareke sala 1947an a John von Neumann û Herman Goldstine ve tê girêdan,[6][7] lê hinekên din di wê înakirine de ne ku bingeha analîza hejmarî ya modern digihîje eserên E. T. Whittaker ên sala 1912an.[6]
Ji bo hêsankirina hesabkirinên bi destan, kitêbên mezin bi formul û tabloyên daneyan ên wekî xalên înterpolasyonê û katsayiyên fonksiyonê hatin çêkirin. Bi karanîna wan tabloyan ku pir caran ji bo hin fonksiyonan bi 16 reqemên dehekî an jî zêdetir têne hesibandin, mayro dikare li nirxan bigere da ku têxe nav formulên dayîn û texmînên hejmarî yên pir baş ên hin fonksiyonan bi dest bixe. Xebata kanonîk a di vî warî de weşana ENSTê ye ku ji hêla Abramowitz û Stegun ve hatî edîtekirin, kitêbek ji 1000 rûpelî zêdetir a hejmareke pir mezin ji formul û fonksiyonên ku bi gelemperî têne bikaranîn û nirxên wan li gelek xalan. Nirxên fonksiyonê êdî pir bikêr nînin wexta ku komputer hebe, lê navnîşa mezin a formulan hîn jî dikare pir bikêr be.
Hesabkera mekanîkî jî wekî amûrek ji bo hesabên bi destan hatibû pêşxistin. Ev hesabker di salên 1940î de veguherîn komputerên elektronîk û piştre derket holê ku ew komputer ji bo armancên îdarî jî bikêr in. Lêbelê, dahênana komputerê tesîr li qada analîza hejmariyê jî kir,[4] ji ber ku êdî dikaribûn hesabên dirêjtir û tevlihevtir pêk bînin.
Xelata Leslie Fox ji bo Analîza Hejmarî di sala 1985an de ji aliyê Enstîtuya Matematîk û Sepandinên wê ve hate destpêkirin.
Konseptên bingehîn
[biguhêre | çavkaniyê biguhêre]Metodên rasterast û dubareker
[biguhêre | çavkaniyê biguhêre]Metodên rasterast çareseriya pirsgirêkekê di hejmareke sinorkirî ya gavan de hesab dikin. Eger ev metod bi karanîna arîtmetîka bi prezîzyona bêdawî bihata pêkanîn, dê bersiva tam bidana. Meselayên wan metodan ew in: elîmînasyona Gaussian, metoda faktorîzasyona QR ji bo çareserkirina sîstemên hevkêşeyên xêzî, û metoda simplexê a programsaziya xêzî. Di pratîkê de prezîzyona sinorkirî tê bikaranîn û encam nêzîkatiya çareseriya rastîn e (bi şertê ku saxlam hebe).
Berevajî metodên rasterast, nayê hêvîkirin ku metodên dubarekirî di hejmareke sinorkirî ya gavan de bi dawî bibin, her çend rastbûna bêdawî gengaz beye jî. Bi destpêkirina texmînek destpêkê, metodên dubarekirî nêzîkbûnên li pey hevda çêdikin ku tenê di sinor de digihîjin çareseriya rast. Testek hevgirtinê ku pir caran resîdualê jî dihewîne, tê destnîşankirin da ku biryar were dayîn ka kengê çareseriyek têr rast (bi hêvî) hatiye dîtin. Tewra bi karanîna aritmetîka rastbûna bêdawî jî, ew metod dê di nav hejmareke sinorkirî ya gavan de negihîjin çareseriyê (bi gelemperî). Mesele metoda Newtonê, metoda dubeşkirinê û dubarekirina Jacobi ne. Di cebîra matrîksa hesabkerî de, metodên dubarekirî bi gelemperî ji bo pirsgirêkên mezin lazim ne.[8][9][10][11]
Di analîza hejmarî de, metodên dubareker (iterative) ji metodên rasterast pirtir gelemperî ne. Hin metod di prensîbê de rasterast in, lê bi gelemperî bi awayekî wisa têne bikaranîn ku ne rasterast dibin; wekî mesela GMRES û metoda gradyenta hevgirtî (conjugate gradient method). Ji bo van metodan, hejmara gavên ku ji bo bidestxistina çareseriya tam pêwîst in ewqas zêde ye ku, mesela metodên dubareker, çareseriyeke nêzîk (nêzîkatiya hejmarî) tê qebûlkirin.
Mesela di pirsgirêka çareserkirina
- 3x3 + 4 = 28
ji bo hêjmara nenas x, li ber çavan bigire.
| 3x3 + 4 = 28. | |
| Sûbtrakt 4 | 3x3 = 24. |
| parvebû ji 3 | x3 = 8. |
| Koka seyê bigire | x = 2. |
Ji bo metoda dubarekirinê, metoda dubareker - dubeşî (bisection method) li ser f(x) = 3x³ − 24ê pêk bîne. Nirxên destpêkê ew in: a = 0, b = 3, f(a) = −24, f(b) = 57.
| a | b | nav | f(nav) |
|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 1.5 | −13.875 |
| 1.5 | 3 | 2.25 | 10.17... |
| 1.5 | 2.25 | 1.875 | −4.22... |
| 1.875 | 2.25 | 2.0625 | 2.32... |
Ji vê tabloyê dikare were encamdan ku çareserî di navbera 1.875 û 2.0625 de ye. Dibe ku algorîtma her hejmareke di wê navberê de, bi xeletiyeke kêmtir ji 0.2 bide.
Rewşa hesabkirinê
[biguhêre | çavkaniyê biguhêre]Pirsgirêka bi rewşa nebaş a hesabkirinê (ill-conditioned): Fonksiyona f(x) = 1/(x − 1) li ber çavan bigirin. Bala xwe bidinê ku f(1.1) = 10 û f(1.001) = 1000 e: guhertineke di x de ku ji 0.1 kêmtir e, dibe sebeba guhertineke nêzîkî 1000î di f(x) de. Nirxandina f(x)-ê li nêzîkî x = 1, pirsgirêkeke bi rewşa nebaş e.
Pirsgirêka bi rewşa baş a hesabkirinê: Berevajî wê yekê, nirxandina heman fonksiyona f(x) = 1/(x − 1) li nêzîkî x = 10, pirsgirêkek bi rewşa baş e. Mesela f(10) = 1/9 ≈ 0.111 û f(11) = 0.1 e: guhertineke biçûk di x de dibe sebeba guhertineke biçûk di f(x)-ê de.
Dîskretîzasyon
[biguhêre | çavkaniyê biguhêre]Herwiha carinan pêwîst e ku pirsgirêkên berdewam bi pirsgirêkeke ji hev veqetandî werin guhertin ku tê zanin çareseriya wê nêzîkî çareseriya pirsgirêka berdewam e; ew pêvajo wekî 'dîskretîzasyon' tê binavkirin. Mesela çareseriya hevkêşeyeke dîferensiyel fonksiyonek e. Divê ew fonksiyon bi rêya hejmareke sinorkirî ya daneyan were nîşandan, mesela bi rêya nirxên wê li hejmareke sinorkirî ya xalên di qada wê ya tanîmê de, tevî ku ev qada tanîmê bi xwe berdewam (kontînum) e.
Binêre
[biguhêre | çavkaniyê biguhêre]Çavkanî
[biguhêre | çavkaniyê biguhêre]- ↑ "Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection". Ji orîjînalê di 13 tebax 2012 de hat arşîvkirin. Roja gihiştinê 2 çiriya pêşîn 2006.
- ↑ Trefethen, Lloyd N. "The Definition of Numerical Analysis" (PDF). Bulletin of the Institute for Mathematics and Applications.
- ↑ Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM. ISBN 978-0-89871-361-9.
- 1 2 3 Brezinski, C.; Wuytack, L. (2012). Numerical analysis: Historical developments in the 20th century. Elsevier. r. 6. ISBN 978-0-444-59858-5.
- ↑ Stephen Blyth. "An Introduction to Quantitative Finance". 2013. page VII.
- 1 2 Watson, G.A. (2010). "The history and development of numerical analysis in Scotland: a personal perspective" (PDF). The Birth of Numerical Analysis. World Scientific. rr. 161–177. ISBN 9789814469456.
- ↑ Bultheel, Adhemar; Cools, Ronald, edîtor (2010). The Birth of Numerical Analysis. Cild 10. World Scientific. r. 17. ISBN 978-981-283-625-0.
- ↑ Saad, Y. (2003). Iterative methods for sparse linear systems. SIAM. r. 5. ISBN 978-0-89871-534-7.
- ↑ Hageman, L.A.; Young, D.M. (2012). Applied iterative methods (Çapa 2nd). Courier Corporation. r. 4. ISBN 978-0-8284-0312-2.
- ↑ Traub, J.F. (1982). Iterative methods for the solution of equations (Çapa 2nd). American Mathematical Society. r. 4. ISBN 978-0-8284-0312-2.
- ↑ Greenbaum, A. (1997). Iterative methods for solving linear systems. SIAM. r. 6. ISBN 978-0-89871-396-1.
Bîbliyografî
[biguhêre | çavkaniyê biguhêre]Dersên online (inglîzî)
[biguhêre | çavkaniyê biguhêre]- Numerical Recipes, William H. Press (free, downloadable previous editions)
- First Steps in Numerical Analysis (Internet Archive|archived), R.J.Hosking, S.Joe, D.C.Joyce, and J.C.Turner
- CSEP (Computational Science Education Project), U.S. Department of Energy (archived 2017-08-01)
- Numerical Methods, ch 3. in the Digital Library of Mathematical Functions
- Numerical Interpolation, Differentiation and Integration, ch 25. in the Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz and Stegun)
- Tobin A. Driscoll and Richard J. Braun: Fundamentals of Numerical Computation (free online version)
