Geometrî

Geometrî
Branch of mathematics
Çargoşe, şeklek bingehîn a geometriyê
biguhêre - Wîkîdaneyê biguhêre

Geometrî (ji yewnanî γεωμετρία geōmetría: geo = erd, metria = pîvan; herwiha hendese ji erebî هندسة) beşeke bingehîn a matematîkê ye ku bi lêkolîna şêweyan (şekil), mezinahî (dirêjahî, firehî, kûrahî), cîh (pozîsyon) û têkiliyên geometrîk ên navbera tiştan di valahîyê de mijûl dibe.

Pêşgotin

Geometrî yek ji kevintirîn şaxên matematîkê ye. Iqlîd (Euclid) di sedsala 3an B.Z. de bingeha wê ya aksiyomatîk daniye. Ev zanist ne tenê ji bo hesabên pratîk (mîna pîvana erdê yan avakariyê) giring e, lê herwiha bingeh e ji bo fîzîkê, stêrnasiyê, endezyarîyê û grafîkên kompûterê.

Dîroka geometriyê

Serdema kevnare

Geometrî di dema şaristaniyên kevn de ji bo pîvandinên erdan, avahîsazî û stêrnasiyê dihat bikaranîn.

Misira Kevin (3000–500 B.Z.)

Li Misira Kevin geometrî bi taybetî ji bo pîvana erdan, avakirin û hesabên pratîk dihat bikaranîn. Ji ber ku cotkariya perava Nîlê bingeha aboriyê bû, misiriyan geometriya hêsan ji bo dabeşkirina erdan û pîvandina qadê bi kar dianîn. Her sal lehiya Nîlê sînorên zeviyan diguherand, lewma pîvana erdê ji bo diyarkirina mafê milk û hesabkirina bacê giring bû.

Piramîdên Misirê nîşan didin ku misiriyan geometrî bi awayekî kêrhatî di avakariyê de bi kar anîne. Piramîda Mezin a Gîzeyê bi rêkûpêkiya geometrîk hatiye çêkirin. Papîrusa Rhind (1650 B.Z.) 85 pirsgirêkên geometrîk dihewîne û nîşan dide ku misiriyan qad, pîvan û rêjeyên kêşan (seqed) bi rêbazên hêsan çareser dikirin.

Mezopotamya (3500–500 B.Z.)

Li Mezopotamyayê (Sumer, Akad, Babîl) geometrî ji bo pîvandina erd, avakirin, astronomî û bazirganiyê pêş ket. Sumeriyan di nêzî 3000 B.Z. de yekem sîstema hejmarê ya bi bingeha 60î pêş xist, ku îro jî di pîvandina demê (60 sanî = 1 deqe) û goşeyan (360 derece bo çemberê) de tê bikaranîn.

Babîliyan di nêzî 1800 B.Z. de tableta Plimpton 322 amade kir, ku tê de lîsteyek ji sêgoşeyên rast û têkiliyên hejmarî hene. Ev yek nîşan dide ku ew ji têkiliya a² + b² = c² haydar bûn, lê mîna a Pîtagoras wekî formulek bi nav û nîşan pê nizani bûn. Mezopotamyayiyan geometrî di avakirina zigguratan, kelehan û kanalên avê de bi kar dianîn.

Serdema klasîk

Yewnanistana Kevin (600–300 B.Z.)

Yewnaniyên pêş geometriya teorîk pêş xistin. Thalesê Mîletî (624–546 B.Z.) lêkolîna goşeyan û sêgoşeyan kir. Pîtagoras (570–495 B.Z.) û şagirtên wî li ser têkiliya hejmar û şekilan lêkolîn kirin; Teorema Pîtagoras bû bingeha geometriya analîtîk.

Iqlîd (300 B.Z.) li Îskenderiyê pirtûka xwe ya navdar Stoixea (Element) nivîsî, ku di 13 pirtûkan de 465 teorem û daxuyanî dihewand. Wî geometrî bi bingehek aksiyomatîk (5 aksiyom) ava kir, û ev model heta sedsala 19an bingehê matematîkê ma. Arşîmedês (287–212 B.Z.) qad û hecim lêkolîn kirin, Apolloniyê Pergayê (262–190 B.Z.) jî li ser konîkan xebitî.

Rojhilata Navîn û Hindistan

Li Hindistanê, di Vedanga Jyotisha (500 B.Z.) de geometrî ji bo stêrnasiyê hat bikaranîn. Li Persê jî di sedsala 6an B.Z. de ji bo avakirina kanal û bajarên mîna Persepolîsê geometrî hat bikaranîn.

Bingehên geometriyê

Geometrî bi awayekî kevneşopî li ser bingehek aksîyomatîk tê avakirin; hemû encam bi mentiqî ji hêmanên bingehîn û rastiyên bingehîn (aksîyom) têne derxistin. Nêzîkatiyên modern, wekî bernameya Erlangen a Felix Klein, geometriyê wekî lêkolîna neguhêran (invariants) di bin komên veguherînan de pênase dikin.

Pêkhateyên bingehîn

Di bingeha geometriya klasîk de sê têgehên bingehîn hene: xal, xêz û rûber. Ev têgeh bi awayekî bingehîn têne pênasekirin û rasterast bi ezmûnê ve girêdayî ne.

• Xal (Noqte): Tiştekî bêpîvan e. Tenê cihê xwe di valahiyê de diyar dike; dirêjahî, firehî û kûrahiya wê nîne.
• Xêz (Dirêjok): Dirêjahiyek bêfirehî ye. Di teoriyê de, xêzeke rast kane ji her du aliyan ve bêdawî were dirêjkirin.
• Rûber (Rûbar): Firehî û dirêjahiya wê heye, lê kûrahî nîne. Rûber wekî "erd"ekî rût tê fikirîn ku xêz û xal li ser cih digirin.
• Valahî (Feza): Ji bilî rûberê, geometrî di valahiyeke sê-rehendî de jî tê lêkolîn. Cismên wekî kûre (gog), kûb (şeşrûke) û pîramîd di vê valahiyê de cih digirin.

Aksîyom û sîstemên aksîyomatîk

Aksîyom rastiyên bingehîn in ku bêyî îspat wekî rast têne pejirandin. Bi karanîna mantiqê, ji van aksîyoman teorem têne derxistin.

Aksîyomên Iqlîdî

Di sedsala 3an B.Z. de, Iqlîd di Stoixea ( Kurdî: Parçe, Îngilîzî:Elements) de yekem sîstema aksîyomatîk a geometriyê pêşkeş kir. Wî pênc aksîyomên bingehîn danîn:

1. Di nav du xalên cihê de parçexêzeke rast kane bê kişandin.
2. Parçexêzeke rast kane bi herdu aliyan ve bêdawî wekî xêzeke rast were dirêjkirin.
3. Bi her xalek wekî navend û mesafeyek jê dûr li ser rûberê, çemberek kane were çêkirin.
4. Hemû goşeyên rast wek hev in.
5. (Postûlata paraleliyê yanî hevrastiyê) Eger xêzeke rast du xêzan bibire û herdu goşeyên hundir ên li heman alî ji du goşeyên rast tengtir bin, ew du xêz li wî alî hevdu dibirin eger bêne direjkirin li wî alî.

Postûlata paralelî (aksîyoma pêncem) di dîrokê de bû sedema gelek nîqaşan. Hewldanên îspatkirina vê aksîyomê di dawiya sedsala 19an de rê li ber kifşkirina geometriyên ne-Iqlîdî vekirin.

Aksîyomên Hilbert

Di sala 1899an de, matematîkzanê alman David Hilbert di pirtûka xwe Grundlagen der Geometrie (Bingehên Geometriyê) de sîstemeke nûjen a aksîyoman pêşkeş kir. Sîstema Hilbert valahiyên mentiqî yên di sîstema Iqlîdî de dagirt û ji 20 aksîyoman pêk tê, ku di pênc koman de têne dabeşkirin: aksîyomên têkildariyê (Incidence), aksîyomên rêzkirinê (Order), aksîyomên hevpîvaniyê (Congruence), aksîyomên paraleliyê û aksîyomên berdewamiyê (Continuity). Sîstema Hilbert bingeha nûjen a hînkirina geometriya Iqlîdî ye.

Cureyên geometriyê

Geometriya Iqlîdî

Geometriya klasîk e ku li ser aksîyomên Iqlîd hatiye avakirin û bi sedsalan wekî standarda geometriyê hatiye pejirandin. Tê de li ser rûpelê (du-rehendî) û di valahiya sê-rehendî de lêkolîna xal, xêz, goşe, rûber û cisman tê kirin.

Geometriya Ne-Iqlîdî

Di sedsala 19an de, matematîkzanên wekî Carl Friedrich Gauss, János Bolyai û Nikolai Lobachevsky bi guherandina postûlata paralelî ya Iqlîd, cureyên nû yên geometriyê ava kirin. Di nav van geometriyên ne-Iqlîdî de geometriya hîperbolîk (ku ji xaleke li derveyî xêzekê bêdawî xêzên paralel tên kişandin) û geometriya elîptîk (ku tê de tu xêzên paralel tune ne) hene.

Geometriya Analîtîk

Di sedsala 17an de, René Descartes û Pierre de Fermat bi danasîna sîstema koordînatan şoreşek di geometriyê de çêkir. Wan nîşan dan ku şekilên geometrîk kanin bi hevkêşeyên cebîrî werin îfadekirin. Ev yek bû bingeha geometriya analîtîk, ku têkiliya di navbera geometrî û cebîrê de ava dike.

Geometriya Dîferansiyel

Ev beş bi karanîna analîza matematîkî (kalkulus) lêkolîna kevanek (çemîn) û rûberan dike. Geometriya dîferansiyel di sedsala 18an de bi xebatên matematîkzanên wekî Leonhard Euler û Gaspard Monge dest pê kir û di fîzîka modern de (bi taybetî di teoriya rêjeyî ya Albert Einstein de) roleke bingehîn dilîze.

Geometriya Projeksîyonê

Geometriya projeksîyonê lêkolîna taybetmendiyên şekilan dike ku di bin veguherînên projeksîyonê de naguhêrin. Berevajî geometriya Iqlîdî, di vê geometriyê de têgeha paraleliyê tune ye; her du xêz her gav li xalekê hevdu dibirin. Ev geometrî bi taybetî ji bo perspektîfê û grafîkên kompûterê giring e.

Geometriya Afîn

Geometriya afîn lêkolîna taybetmendiyên ku di bin veguherînên afîn de têne parastin dike. Ev cureyê geometriyê di navbera geometriya Iqlîdî û geometriya projeksîyonê de cih digire. Têgehên wekî paralelî û rêjeya parçeyan di geometriya afîn de têne parastin. Fîlozofê fransî Henri Poincaré di xebatên xwe de bal kişandiye ser giringiya vê geometriyê.

Topolojî

Geometriya cihê (topolojî) lêkolîna taybetmendiyên valahiyê dike ku di bin veguherînên berdewam de têne parastin (mîna dirêjkirin û badanê, lê ne qetandin û zeliqandinê). Di topolojiyê de, têgehên wekî dirêjahî û goşe giring nînin; lê belê têgehên wekî girêdan û kunkirinê giring in. Topolojî di sedsala 20an de bûye beşeke serbixwe ya matematîkê û di gelek waran de sepana xwe dibîne.

Bikaranîna geometriyê

Geometrî di gelek waran de tê bikaranîn:

• Endezyarî: Ji bo sêwirana avahî û piran.
• Fîzîk: Ji bo modelkirina valahiya gerdûnî û teoriya rêjeyê.
• Grafîkên kompûterê: Ji bo afirandina wêneyên 2D û 3D.
• Astronomî: Ji bo hesabkirina pozîsyon û rêçên stêr û gerstêrkan.

Geometrî û kurd

Matematîkzanê kurd Koçer Bîrkar (Caucher Birkar) xelata Fieldsa 2018an wergirt. Wî di warê geometriya cebrî de xebatên giring kiriye, bi taybetî li ser tesnîfkirina varyeteyên cebrî.

Çavkanî

1. Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, 1991.
2. Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990.
3. Euclid, Elements, Wikisource.

Girêdanên derve

• Geometry li Wîkîpediya îngilîzî
• Geometry li MathWorld