Logarîtma

Grafîkên fonksiyonên logarîtmeyê, bi sê bingehên ku bi gelemperî têne bikaranîn. Xalên taybet ên log_b b = 1 bi xêzên xalkirî hatine nîşandan û hemû xêz di xala log_b 1 = 0 de hev dibirrin.

Di matematîkê de, logarîtmaya hejmarekê potens e ku divê nirxeke din a sabît, ango bingeh, pê were bilindkirin da ku ew hejmar were bidestxistin. Mesela logarîtmaya 1000 li gorî bingeha 10 dike 3, çunkî 1000 dike 10 bi hêza 3yê: 1000 = 10³ = 10 × 10 × 10. Bi awayekî giştî, eger x = b^y be, wê wextê y logarîtmaya x ye li gorî bingeha b (wekî log_b x = y tê nivîsandin); loma log₁₀ 1000 = 3. Wekî fonksiyoneke bi guherbareke tenê, logarîtmaya bi bingeha b, berevajiya operasyona bilindkirina bi potensê ya bi bingeha b ye.

Logarîtma bingeha 10 wekî desimal an jî logarîtma hevpar tê binavkirin û bi gelemperî di zanist û endezyariyê de tê bikaranîn. Logarîtma xwezayî bingeha wê jimara e ≈ 2.718 e; karanîna wê di matematîk û fizîkê de ji ber derivata wê ya pir hêsan pir belav e. Logarîtma dualî bingeha 2 bikar tîne û bi berfirehî di zanista komputerê, teoriya agahdariyê, teoriya muzîkê û fotografiyê de tê bikaranîn. Wexta ku bingeh ji çarçoveyê nezelal an ne têkildar be, ew pir caran tê derxistin û logarîtm wekî log x tê nivîsandin.

Logarîtm di sala 1614an de ji hêla John Napier ve wekî rêbazek ji bo hêsankirina hesaban hatin pêşkêşkirin. Ew zû ji hêla navîgator, zanyar, endezyar, pîvankeran û kesên din ve hatin bikaranîn da ku hesabên bi hûrgiliya bilind bi awayekî hêsantir pêk bînin. Bi bikaranîna tabloyên logarîtmê, gavên westîner ên pirhejmarî yên lêkdana hejmaran dikarin bi lêgerîna di tabloyan de û komkirineke hêsantir werin guhertin. Ew yek pêkan e ji ber ku logarîtmaya encama lêkdanê (eserê) wekhev e bi koma logarîtmên wan hejmarên ku li hev hatine lêkdan:

$$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,$$

bi wê şertê ku b, x û y gî erênî bin û b ≠ 1 be. Hesabkera şemitok ku ew jî li ser bingeha logaritmayan hatiye avakirin, rê dide ku însan bêyî bikaranîna tabloyan bi lez hesaban bike, lê bi hûrguliyeke kêmtir. Têgihiştina nûjen a logaritmayan vedigere ser Leonhard Euler; wî di sedsala 18an de logarîtma bi fonksiyona eksponensiyel ve girêdan û herwiha tîpa "e" wekî bingeha logaritmayên xwezayî destnîşan kiriye.

Pîvanên logarîtmîk mîqdarên berfireh kêm dikin bo teleskopên piçûktir. Mesela desîbel (dB) yekîneyek e ku ji bo îfadekirina rêjeyê wekî logarîtm têye bikaranîn, pirî ji bo hêz û amplîtuda sînyalê (ku zexta dengî meselake hevpar e). Di kîmyayê de nirxa pH pîvanek logarîtmîk e ji bo asîdîteya çareseriyek avî. Logarîtm di formulayên zanistî de, û di pîvandina tevliheviya algorîtmayan û cismên geometrîkî yên bi navê fraktal de gelemperî ne. Ew dibin alîkar ku rêjeyên frekansê yên întervalên muzîkê werin ravekirin, di formulên jimartina hejmarên sereke an nêzîkbûna faktoriyelan de xuya dibin, hin modelên di psîkofizîkê de agahdar dikin û dikarin di hesabkirina hiqûqî de bibin alîkar.

Konsepta logarîtmayê wekî berevajiya bilindkirina bi hêz (exponentiation), li ser pêkhateyên din ên matematîkî jî tê berfirehkirin. Lêbelê, di rewşên giştî de, logarîtma bi gelemperî dibe fonksiyoneke xwedî pir-nirxan (multi-valued function). Mesela logarîtmaya kompleks berevajiya xwedî pir-nirxan a fonksiyona eksponensiyela kompleks e. Bi heman awayî, logarîtmaya dîskret berevajiya xwedî pir-nirxan a fonksiyona eksponensiyelê di komên sinorkirî (finite groups) de ye; ew di krîptografiya kilîta giştî de tê bikaranîn.

Motîvasyon

Grafîka logarîtmaya bi bingeha 2yê, li x = 1 têkiliya xwe bi eksana x-ê re çêdike û di nav xalên (2, 1), (4, 2) û (8, 3) re derbas dibe; bi vî awayî, wekî mînak, log₂(8) = 3 û 2³ = 8 nîşan dide. Grafîk bêsinor nêzîkî eksena y dibe, lê qet nagihîje wê.

Komkirin, zêdekirin û potens sê ji kiryarên herî bingehîn ên arîtmetîkê ne. Berevajiya komkirinê derxistin e û berevajiya zêdekirinê jî parkirinê e. Bi heman awayî, logarîtma jî kiryara berevajî ya potensê e. Potens ew e ku hejmareke b (bingeh) bigihîje hêzeke diyarkirî ya y (hêz) da ku nirxekî x bide; ew yek bi wî awayî tê nîşandan:

$$b^{y}=x.$$

Mesela bilindkirina 2 bo hêza 3 dide 8: $2^{3}=8.$

Logarîtmaya bi bingeha b, ew operasyona berevajî ye ku ji têketina x derketina y peyda dike. Ango $y=\log _{b}x$ hevmaneya $x=b^{y}$ ye bi şertê ku b hejmareke rastîn a erênî be. (Eger b ne hejmareke rastîn a erênî be, hem bilindkirina bi hêz û hem jî logarîtma dikarin bên pênasekirin, lê dibe ku gelek nirxan werbigirin; ew yek jî pênaseyan pir aloztir dike.)

Yek ji sebebên sereke yên tarîxî yên danasîna logarîtmayan, ew formula ye ku

$$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,$$bi rêya wan, tabloyên logarîtmayê rê didin ku kiryarên lêkdan û dabeşkirinê veguherin kiryarên komkirin û derxistinê; ew yek beriya dahênana komputeran, alîkariyeke mezin ji bo hesabkirinan bû.

Terîf

Ji bo hejmareke rastîn a erênî ya wekî b (ku b ≠ 1 be), logarîtmaya hejmareke rastîn a erênî ya wekî x li gorî binyata b, ew hêz e ku divê b pê were bilindkirin da ku encam bibe x. Bi gotineke din, logarîtmaya x li gorî binyata b, ew hejmara rastîn a yekta y ye ku tê de $b^{y}=x$ ye.

Logarîtma bi awayê "log_b x" tê nîşandan (wekî "logarîtmaya x li gorî binyata b", "logarîtmaya binyeta-b ya x", an jî bi gelemperî "log, binyat b, ya x" tê xwendin).

Pênaseyeke hevmane û kurttir ew e ku fonksiyona log_b, fonksiyona berevajî ya fonksiyona $x\mapsto b^{x}$ ye.

Mesela

• log₂ 16 = 4, ji ber ku 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
• Logarîtm dikarin neyînî jî bin: ${\textstyle \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=-1}$, ji ber ku ${\textstyle 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.}$
• log₁₀ 150 bi qasî 2.176 e ku dikeve navbera 2 û 3yê de; tam wekî ku 150 dikeve navbera 10² = 100 û 10³ = 1000.
• Ji bo her bingeh b, log_b b = 1 û log_b 1 = 0, ji ber ku b¹ = b û b⁰ = 1 e.

Nasnameyên logarîtmatîk

Çendîn formulayên giring ku carinan wekî nasnameyên logarîtmatîk an jî yasayên logarîtmatîk tên binavkirin, têkiliya di navbera logarîtman de diyar dikin.

Berhem, encama dabeşkirinê, hêz û kok

Logarîtmaya berhemekê wekhev e bi koma logarîtmayên wan hejmarên ku li hev hatine zêdekirin; logarîtmaya rêjeya du hejmaran jî wekhev e bi ferqa logarîtmayên wan. Logarîtmaya hêza p a hejmarekê, p caran logarîtmaya wê hejmarê bi xwe ye; logarîtmaya koka p jî logarîtmaya wê hejmarê ye ku li ser p hatiye dabeşkirin. Tabloya jêrîn wan wekheviyan bi meselan nîşan dide. Her yek ji wan wekheviyan dikare piştî danîna pênaseyên logarîtmayê yên wekî $x=b^{\,\log _{b}x}$ an $y=b^{\,\log _{b}y}$ li aliyê çepê yê hevkêşeyan, were bidestxistin. Di formulên jêrîn de, x û y hejmarên rastîn ên pozîtîv ne û p jî hejmareke tam e ku ji 1 mezintir e.

Logarîtmayên berhem, encama dabeşkirinê, hêz û kok

Nasname	Formula	Mesela
Berhem	${\textstyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y}$	${\textstyle \log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5}$
Dabeşkirin	${\textstyle \log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y}$	${\textstyle \log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4}$
Hêz	${\textstyle \log _{b}\left(x^{p}\right)=p\log _{b}x}$	${\textstyle \log _{2}64=\log _{2}\left(2^{6}\right)=6\log _{2}2=6}$
Kok	${\textstyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}x}{p}}}$	${\textstyle \log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}$

Guhertina bingehê

Logarîtmaya log_b x dikare bi karanîna formula jêrîn, ji logarîtmayên x û b yên li gorî bingeheke kêfî ya k, were hesibandin:

$$\log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.$$Makîneyên hesabkirinê yên zanistî û asayî, logarîtmeyên bi bingehên 10 û e hesab dikin. Logarîtmeyên bi her bingeheke b dikarin bi bikaranîna yek ji van her du logarîtmeyan û li gorî wê formula berê werin diyarkirin:

$$\log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.$$Eger hejmareke x û logarîtmaya wê y = log_b x (bi bingeheke nenas b) hebin, bingeh bi wî awayî tê dîtin:

$$b=x^{\frac {1}{y}},$$Ew yek bi bilindkirina hevkêşeya pênaseker a $x=b^{\,\log _{b}x}=b^{y}$ bo hêza ${\tfrac {1}{y}}.$ tê dîtin.

Bingehên taybet

Grafikên logarîtmayê yên li ser hev ji bo bingehan ⁠1/2⁠, 2, û e.

Di nav gî bijardeyên ji bo bingehê de, sê jê bi taybetî berbelav in. Ew jî ev in: b = 10, b = e (hejmara sabît a matematîkî ya neaqlî e ≈ 2.71828183 ), û b = 2 (logarîtmaya dualî). Di analîza matematîkî de, logarîtmaya bi bingeha e ji ber taybetmendiyên analîtîk ên ku li jêr hatine ravekirin, gelek berbelav e. Ji aliyekî din ve, bikaranîna logarîtmayên bi bingeha 10 (logarîtmaya asayî) ji bo hesabên bi destan di sîstema hejmaran a desîmalê de hêsan e:

$$\log _{10}\,(\,10\,x\,)\ =\;\log _{10}10\ +\;\log _{10}x\ =\ 1\,+\,\log _{10}x\,.$$

Bi wî awayî, log₁₀ (x) bi hejmara reqemên di pêjimara desîmalê de ya tamhejmar a erênî x ve girêdayî ye: Hejmara reqeman ew tamhejmara a herî biçûk e ku bi awayekî hişk ji log₁₀ (x) mezintir e. Mesela log₁₀(5986) bi qasî 3.78 e. Tamhejmar a li pey wê 4 e ku ev jî hejmara reqemên 5986 ye. Hem logarîtmaya xwezayî û hem jî logarîtmaya dualî di teoriya agahiyê de têne bikaranîn ku bi rêzê ve li gel bikaranîna "nat" an "bit"an wekî yekeyên bingehîn ên agahiyê têkildar in. Logarîtmaya dualî her wiha di zanista komputerê de tê bikaranîn ku li wir sîstema dualî pir belav e; di teoriya muzîkê de ku li wir rêjeya bilindahiya deng a du (oktav) pir belav e û hejmara "cent" di navbera herdu dengên ferq de guhertoyeke pîvanê ya logarîtmaya dualî, ango log2 car 1200, ya rêjeya deng e (ango di sîstema hevsengiya wekhev a kevneşopî de ji bo her nîvtonê 100 cent hene), an jî bi awayekî wekhev logarîtmaya bi bingehê 2^1/1200 e; û di fotografiyê de ku li wir logarîtmayên bi bingehê 2 yên ku pîvana wan hatiye guhertin, ji bo pîvandina nirxên ronahiyê, astên ronahiyê, wextên ronahiyê, avakirina lensê (aperture) û leza fîlmê bi yekeya "stop" têne bikaranîn.

Kurtenivîsa log x pir caran tê bikaranîn wexta ku bingeha armanckirî dikare li gorî çarçove an dîsîplînê were texmîn kirin, an jî wexta ku bingeh ne diyar an ne giring be. Logarîtmên hevpar (bingeha 10) ku ji tarîxê ve di tabloyên logarîtmê û qaîdeyên slaytê de têne bikaranîn, amûrek bingehîn in ji bo pîvandin û hesabkirinê di gelek warên zanist û endezyariyê de; di wan çarçoveyan de log x hîn jî pir caran tê maneya logarîtma bingeha desîmalê. Di matematîkê de log x bi gelemperî behsa logarîtma xwezayî (bingeha e) dike. Di zanista komputer û teoriya agahdariyê de, log pir caran behsa logarîtmên dualî (bingeha 2) dike. Tabloya jêrîn nîşanên hevpar ji bo logarîtmên wan bingehan navnîş dike. Stûna "Nîşana ISO" nîşanên ku ji hêla Rêxistina Navneteweyî ya Standardîzasyonê ve hatine pêşniyar kirin navnîş dike.

Bingehb	Nav ji bo logb x	Nîşana ISO	Nîşanên din
2	logarîtmaya dualî	lb x	ld x, log x, lg x, log2 x
e	logarîtmaya xwezayî	ln x	log x, loge x
10	logarîtmaya asayî	lg x	log x, log10 x
b	Logarîtmaya bingeh b	logb x

Tarîx

Di tarîxa logarîtmayan a li Ewropaya sedeya 17an de, fonksiyoneke nû hat dîtin ku qada analîzê ji çarçoveya metodên cebîrî wêdetir berfireh kir. Metoda logarîtmayan di sala 1614an de ji hêla John Napier ve bi awayekî giştî hate pêşkêşkirin; ew yek di kitêba bi navê Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Danasîna Kanona Ecêb a Logarîtmayan) de pêk hat. Berî dahênana Napier, teknîkên din ên bi heman naverokê hebûn, wekî prosthafaeresis an jî bikaranîna tabloyên rêzehejmaran (progresyonan) ku li dora sala 1600ê bi berfirehî ji hêla Jost Bürgi ve hatibûn pêşxistin. Napier têgeha logarithmus (bi latîniya navîn) ji bo logarîtmayê afirand; ew kelîme bi maneya "hejmara rêjeyê" ye û ji kelîmeyên yewnanî logos (tê maneya rêje, nîsbet an kelîme) û arithmos (tê maneya hejmar) hatiye wergirtin.

Logarîtmaya asayî ya hejmarekê ew hêz (an jî eksponent) e ku wexta deh bi wê hêzê tê bilindkirin, encam jî dibe ew hejmar. Gotina ku hejmarek lazimdarê hejmareke diyar a reqeman e, îşareteke giştî ye bo logarîtmaya asayî; Arşîmed ji wê re gotûbû "rêza hejmarê". Yekê logarîtmayên rastîn metodên hûrîstîk bûne ji bo veguherandina kiryara lêkdanê bo ya komkirinê, bi wî awayî hêsankirina hesabkirina bilez. Hin ji van metodan tabloyên ku ji nasnameyên trîgonometrîk hatibûn wergirtin, bikar dianîn. Ji wan metodan re prostafaeresîs têye gotin.

Dahênana fonksiyona ku niha wekî logarîtmaya xwezayî têye zanin, wekî hewldanek ji bo pêkanîna çargoşeya hîperbola çargoşeyî ji hêla Grégoire de Saint-Vincent, belçîkekî ku li Pragê dijiya, destpê kir. Arşîmed di sedsala 3yê b.z. de Çargoşeya Parabolayê nivîsîbû, lê çargoşeyek ji bo hîperbolayê ji gî hewldanan dûr ket heya ku Saint-Vincent encamên wî di sala 1647an de weşand. Têkiliya ku logarîtma di navbeya pêşveçûnek geometrîk di argumana wî de û pêşveçûnek arîtmetîk ya nirxan de peyda dike, A. A. de Sarasa han da ku girêdana çargoşeya Saint-Vincent û kevneşopiya logarîtmayan di prostafaeresîs de çêbike ku bû sebeba têgeha "logarîtmaya hîperbolîk" ku hevmaneya logarîtmaya xwezayî ye. Di zemaneke kurt de fonksiyona nû ji hêla Christiaan Huygens û James Gregory ve hate teqdîr kirin. Nîşaneya Log y di sala 1675an de ji aliyê Gottfried Wilhelm Leibniz ve hate pejirandin, û sala din wî ew bi întegralê ve girêda ${\textstyle \int {\frac {dy}{y}}.}$

Berê ku Euler têgeha xwe ya modern a logarîtmayên xwezayî yên tevlihev pêş bixe, di sala 1714an de Roger Cotes hema hema encameke nezîk ê wekhev bidest xistibû.

$$\log(\cos \theta +i\sin \theta )=i\theta .$$

Binêre

• Analîza hejmarî
• Hejmarên aqlî

Girêdanên dervê

•  Li Wikimedia Commons medyayên di warê Logarîtma de hene.
• A lesson on logarithms can be found on Wikiversity
• Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures
• Colin Byfleet, Educational video on logarithms, roja gihiştinê 12 çiriya pêşîn 2010
• Edward Wright, Translation of Napier's work on logarithms, ji orîjînalê di 3 kanûna pêşîn 2002 de hat arşîvkirin, roja gihiştinê 12 çiriya pêşîn 2010
• Glaisher, James Whitbread Lee (1911). "Logarithm" . Bi Chisholm, Hugh (edîtor). Encyclopædia Britannica (bi îngilîzî). Cild 16 (Çapa 11em). Cambridge University Press. rr. 868–77.